Movimiento Armonico Simple

 

MOVIMIENTO

ARMÓNICO

SIMPLE 





 El movimiento armónico simple (se abrevia m.a.s.), también denominado movimiento vibratorio armónico simple (abreviado m.v.a.s.), es un movimiento periódico que queda descrito en función del tiempo por una función armónica (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no un m.a.s..
En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que realiza un m.a.s. oscila alejándose y acercándose de un punto, situado en el centro de su trayectoria de tal manera que su posición en función del tiempo con respecto a ese punto es una sinusoide. En este movimiento, la fuerza que actúa sobre la partícula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia éste.

CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Archivo:Fasorxva.gif


El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo.

Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo.El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja.

Es también, el movimiento que realiza cada uno de los puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibración; pero, pongamos atención, no es el movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del movimiento global y simultáneo de todos los puntos de la cuerda.






                      ECUACIÓN DEL M.A.S.
En un movimiento armónico simple la magnitud de la fuerza ejercida sobre la partícula es directamente proporcional a su elongación, esto es la distancia x\, a la que se encuentra ésta respecto a su posición de equilibrio. En un desplazamiento a lo largo del eje Ox, tomando el origen O en la posición de equilibrio, esta fuerza es tal que F_{x} = - kx\, donde k\, es una constante positiva y x\, es la elongación. El signo negativo indica que en todo momento la fuerza que actúa sobre la partícula está dirigida hacía la posición de equilibrio; esto es, en dirección contraria a su elongación (la "atrae" hacia la posición de equilibrio).
Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial

m \frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -k x
Siendo m\, la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo \scriptstyle \omega^{2} = k/m se obtiene la siguiente ecuación donde ω es la frecuencia angular del movimiento:

\frac{d^2x}{dt^2} = a(t) = -\omega^2x
La solución de la ecuación diferencial (2) puede escribirse en la forma
x(t) = A \sin(\omega t + \phi)\,
 Archivo:Muelle.gif
donde:
x\, es la elongación de la partícula.
A\, es la amplitud del movimiento (elongación máxima).
\omega\, es la frecuencia angular
t\, es el tiempo.
\phi\, es la fase inicial e indica el estado de oscilación o vibración (o fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila.
Además, la frecuencia de oscilación puede escribirse como


f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}, y por lo tanto el periodo como T = \frac{1}{f} = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}


La velocidad y aceleración de la partícula pueden obtenerse derivando respecto del tiempo la expresión  x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\,.


Velocidad

La velocidad es la variación del espacio respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación del espacio respecto al tiempo:

v = \omega A \, \cos(\omega t + \phi)

]Aceleración

La aceleración es la variación de la velocidad del movimiento respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación de la velocidad respecto al tiempo:

a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = -\omega^2 A \, \sin(\omega t + \phi) = -\omega^2 x(t)\,



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